Operador adjunt

En matemàtiques, l'adjunt d'un operador, si existeix, és un nou operador definit en un espai vectorial sobre el cos dels nombres reals o dels complexos, dotat d'un producte escalar. Hom diu que un tal espai és prehilbertià.

Si l'operador inicial és continu i si l'espai vectorial és complet, llavors l'adjunt sempre està definit. Aquestes condicions sempre es compleixen en dimensió finita. L'aplicació que assigna un operador al seu adjunt és semilineal, contínua i bijectiva. Addicionalment, és una isometria involutiva. L'espai dels operadors es descompon en dos subespais vectorials suplementaris i ortogonals. Són els espais propis de l'aplicació associats als valors propis 1 i -1.

Alguns operadors disposen d'una compatibilitat amb el producte escalar. Aquest és el cas si un operador commuta amb el seu adjunt. Llavors hom diu que és un operador normal. Tres casos importants són els operadors autoadjunts (adjunts d'ells mateixos), els operadors antiautoadjunts (adjunts del seu oposat) i els operadors unitaris (inversos del seu adjunt). Sobre un espai vectorial real, els termes emprats són, respectivament: simètric, antisimètric i ortogonal.

La noció d'operador adjunt té nombroses aplicacions. En dimensió finita i sobre el cos dels complexos, l'estructura dels endomorfismes normals és simple, ja que són diagonalitzables sobre una base ortonormal. El cas de dimensió infinita és més complex. Aquest concepte és important en anàlisi funcional. El cas autoadjunt és de particular importància, perquè proveeix del marc més senzill per la teoria espectral. En la teoria dels operadors, una C*-àlgebra és un espai de Banach dotat d'una llei de composició interna anàloga a la composició d'operadors, i d'una operació estrella que té les mateixes propietats que l'aplicació que assigna un operador al seu adjunt.